इस भाग में, कक्षा 10 के लिए W.B.B.S.E.(West Bengal Board Of Secondary Education) द्वारा आप सभी प्रमेय / CLASS 10 THEOREMS को जानने जा रहे हैं।
आप निश्चिन्त रहें कि सभी प्रमेय बेहतर तरीके से लिखे गए हैं ताकि आपको माध्यमिक परीक्षा(Madhyamik Pariksha) में पूर्ण अंक मिले। साथ यहाँ Writing Skill भी सिखाया गया है।
IN THIS PART YOU ARE GOING TO LEARN ALL THEOREMS( CLASS 10 THEOREMS) GIVEN BY WEST BENGAL BOARD OF SECONDARY EDUCATION FOR CLASS 10. BE ASSURE THAT YOU WILL KNOW THE CLASS 10 THEOREMS IN FANTASTIC MANNER WITH GREAT QUALITY OF WRITING SKILL HERE.
1) प्रमेय-01 (Theorem-01)
प्रमाणित कीजिए कि वृत्त के केन्द्र से वृत्त की जीवा (व्यास छोड़कर) के मध्य बिन्दु को मिलाने वाली रेखा जीवा के ऊपर लंब होती है ।
Given:- R केन्द्रवाला एक वृत्त है जिसमें PQ एक जीवा(जो व्यास नहीं है ) है एवं S उसका मध्यविन्दू है ।
अर्थात PS = QS
To Prove :- RS ⊥ PQ
Construction:- P, R और Q, R को मिलाया गया।
Proof:- ∆PSR तथा ∆QSR में,
(i) PS = QS
(ii)PR = QR ( एक ही वृत्त का अर्द्धव्यास है ।)
(iii) RS उभयनिष्ठ (Common)है ।
∴ ∆PSR = ∆QSR
∴ < RSP = < RSQ
अब, RS , PQ पर खड़ी रेखाखंड है ।
∴
< RSP + < RSQ= 180
=> < RSP + < RSP =180 ( < RSP = < RSQ)
=> 2 < RSP =180
=> < RSP =180 / 2 = 90
∴ RS ⊥ PQ (Proved)
प्रमेय-02 (Theorem-02)
प्रमाणित कीजिए वृत्त के केन्द्र से जीवा (व्यास छोड़कर) पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है ।
Given:- R केन्द्रवाला एक वृत्त है जिसमें PQ एक जीवा(जो व्यास नहीं है ) है एवं RS | PQ है ।
अर्थात < RSP = < RSQ = 90°
To Prove :- PS = QS
To Prove :- PS = QS
Construction:- P, R और Q, R को मिलाया गया।
Proof:-
चूँकि RS | PQ
∆ RSP = ∆ RSQ दो समकोण त्रिभुज है ।
अब,
∆ RSP तथा ∆ RSQ में,
(i) < RSP = < RSQ = 90°
(ii) PR = QR ( एक ही वृत्त का अर्द्धव्यास है ।)
(iii) RS उभयनिष्ठ (Common) है ।
∆ PSR = ∆ QSR
∴ PS = QS (Proved)
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प्रमाणित कीजिए कि एक ही चापखंड पर स्थित केन्द्र का कोण वृत्त की परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है ।
Given:- S केन्द्रवाला वृत्त के PUR चाप द्वारा केन्द्र पर बना कोण < PSR तथा परिधि पर बना कोण < PQR है ।
TO PROVE:-
< PSR = 2 < PQR
Construction:- Q,S को मिलाकर T बिन्दु तक बढ़ाया गया ।
Proof:-
∵ PS = QS तथा RS = QS
∆ PSQ तथा ∆ RSQ समद्विबाहु त्रिभुज हैं ।
∴ < SPQ = < SQP
∴ < SRQ = < SQR
अब,
हम जानते हैं कि
बहिष्णकोण = विपरीत अंतःकोणो का योगफल
त्रिभुज ∆PSQ में,
बहिष्णकोण < PST = < SPQ + < SQP
= < SPQ + < SPQ
= 2 < SPQ …. (i)
फिर,
त्रिभुज ∆RSQ में,
बहिष्णकोण < RST = < SRQ + < SQR
= < SQR + < SQR
= 2 < SQR …. (ii)
अब,
(i) और (ii) से,
बहिष्णकोण < PST + बहिष्णकोण < RST = 2 < SPQ + 2 < SQR
=> < PSR = 2 < SPQ + 2 < SQR )
=> < PSR = 2 (< SPQ + < SQR )
=> < PSR = 2 < PQR (Proved)
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4) प्रमेय-04 (Theorem-04)
सिद्ध कीजिए कि एक ही अवधा पर स्थित कोण परस्पर बराबर होते हैं ।
Given:-
S केंद्र वाला वृत्त है जिसमें <PUR और <PTR एक ही अवधा PQRTU पर स्थित है।
To Prove:-
अवधा PQRTU पर स्थित कोण परस्पर बराबर हैं ।
i.e. <PUR = <PTR
Construction:-
S, P और S, R को मिलाया गया।
Proof:-
चाप P͡QR पर केंद्र पर बना कोण <PSR और परिधि पर बना कोण <PUR है।
<PSR =2 <PUR ……(i)
फिर,
चाप P͡QR पर केंद्र पर बना कोण <PSR और परिधि पर बना कोण <PTR है।
<PSR =2 <PTR ……(i)
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सिद्ध कीजिए कि अर्द्धवृत पर बना कोण समकोण होता है ।
Given:-
S केंद्रीय वाला वृत्त है जिसमें < PRQ अर्द्धवृत्त पर बना कोण है।
To Prove:-
< PRQ = 90 (1 समकोण)
Proof:-
PSQ एक सरल कोण है।
<PSQ = 180 …(i)
चाप P͡TQ पर केंद्र का <PSQ और परिधि का कोण <PRQ है।
<PSQ =2 <PRQ…(ii)
सिद्ध कीजिए कि वृतस्थ चतुर्भुज के विपरीत कोण सम्पूरक होते हैं ।
Given:-
T केन्द्र वाला वृत्त PQRS चक्रीय चतुर्भुज है ।
Construction:- P, T और R, T को मिलाया गया ।
To Prove:-
(i) <PSR + <PQR = 180
(ii) <SPQ + <SRQ = 180
Proof:-
चाप P͡QR पर केंद्र का कोण < PTR तथा परिधि का कोण < PSR है।
< PTR =2 < PSR
=> 2 < PSR = < PTR
=> < PSR = 1/2 < PTR ….(i)
फिर,
चाप P͡SR पर केंद्र का कोण पुनर्युक्त कोण < PTR तथा परिधि का कोण < PQR है।
पुनर्युक्त कोण < PTR =2 < PQR
=> 2 < PQR = पुनर्युक्त कोण < PTR
=> < PQR = 1/2 पुनर्युक्त कोण < PTR ….(ii)
अब,
(i) तथा (ii) से हम लिख सकते हैं,
< PSR + < PQR = 1/2 < PTR + 1/2 पुनर्युक्त कोण < PTR
=> < PSR + < PQR = 1/2 (< PTR + पुनर्युक्त कोण < PTR )
=> < PSR + < PQR = 1/2 × 180 = 90
इसी प्रकार, Q, T और S, T को मिला कर सिद्ध किया जा सकता है कि
प्रमाणित कीजिए कि वृत्त के किसी बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा तथा स्पर्श बिन्दुगामी अर्द्धव्यास एक दूसरे पर लम्ब है।
अथवा, प्रमाणित कीजिए कि किसी वृत्त की स्पर्शक, स्पर्श बिन्दुगामी अर्द्धव्यास पर लम्ब होती है ।
Given:-
S केन्द्र वाला वृत्त के R बिन्दु पर स्पर्शक है एवं SR , R बिन्दुगामी अर्द्धव्यास है ।
To Prove:-
SR तथा PQ परस्पर लम्ब है ।
i.e. SR ⊥ PQ
Construction:- वृत्त के बाहर स्पर्शक PQ पर T एक बिन्दु लिया गया । S, T को मिलाया गया ।
Proof:-
वृत्त के बाहर स्पर्शक PQ पर T एक बिन्दु है ।
अतः S, T को मिलाने पर यह वृत्त को किसी बिन्दु पर काटेगी।
माना कि यह बिन्दु U है ।
SU = SR (एक ही वृत्त का अर्द्धव्यास)
अब,
SU < ST
∴ SR < ST
∴ S से PQ पर खींची जाने वाली समस्त रेखाओं में SR सबसे छोटी है।
∴ SR ⊥ PQ (Proved)
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प्रमाणित कीजिए कि किसी वृत्त के बाहर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाये समान होती हैं एवं केंद्र पर समान कोण बनाती हैं ।
Given:-
S केंद्र वाला वृत्त के बाहर स्थित बिन्दु P से वृत्त पर PR और PQ दो स्पर्शक हैं जो वृत्त को क्रमशः R तथा Q बिंदु पर स्पर्श करते हैं।
S के साथ R, Q तथा P को मिलाने पर केन्द्र S पर दो कोण <PSR तथा <PSQ बनता है ।
To Prove:-
(i) PR = PQ
(ii) < PSR = <PSQ
Proof:-
PR और PQ वृत्त के स्पर्शक हैं और SR और SQ स्पर्श बिन्दुओं से खींचे गए अर्द्धव्यास (व्यासार्द्ध) है।
SR | PR तथा SQ | PB
PSR तथा PSQ दो समकोण त्रिभुज हैं ।
i.e. < PSR = < PSQ =90
अब,
त्रिभुज PSR तथा त्रिभुज PSQ में,
(i) < PSR = < PSQ =90
(ii) SR = SQ
(iii) SP उभयनिष्ठ है ।
∆ PSR =̃ ∆ PSQ [S.A.S. (भुजा-कोण-भुजा) के द्वारा]
∴ PR = PQ
∴ < PSR = < PSQ
सिद्ध कीजिए कि यदि दो वृत्त एक दूसरे को परस्पर स्पर्श करे तो स्पर्श बिन्दु, दोनों वृत्तो के केन्द्रों को मिलाने वाली सरल रेखा पर स्थित होगा ।
अथवा, प्रमाणित कीजिए कि यदि दो वृत्त एक दूसरे को स्पर्श करते हैं तो दोनों वृत्तो के केन्द्र एवं स्पर्श बिन्दु समरेखीय होते हैं ।
Given(दिया गया है):
P तथा Q केंद्र वाले दो वृत्त एक दूसरे को T बिंदु पर स्पर्श करते हैं।
To Prove(प्रमाणित करना है):
P, T तथा Q एक रेखीय हैं।
या P, T तथा Q एक सरल रेखा पर स्थित हैं ।
Construction(रचना): P, T और Q, T को मिलाया गया ।
Proof(प्रमाण):
∵ दो वृत्त एक दूसरे को R बिंदु पर स्पर्श करते हैं,
∴ T बिंदु पर इनका एक उभयनिष्ठ पर स्पर्शक है।
माना SR एक उभयनिष्ठ पर स्पर्शक है जो दोनों वृत्तो को R बिंदु पर स्पर्श करता है।
P केन्द्र वाले वृत्त का SR पर स्पर्शक है और स्पर्श बिंदु से खींचा गया अर्द्धव्यास PT है।
∴ PT पर SR लंब है।
Q केन्द्र वाले वृत्त का SR पर स्पर्शक है और स्पर्श बिंदु से खींचा गया अर्द्धव्यास QT है।
∴ QT पर SR लंब है।
∴ PT और QT एक ही सरल रेखा पर स्थित हैं ।
∴ P, T और Q बिंदु एक रेखीय हैं।
10) प्रमेय-10 (Theorem-10)
Given:-
∆ PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका < P समकोण है और समकोणिक बिन्दु से कर्ण QR पर PS लंब है ।
To Prove:-
- ∆ PQS तथा ∆ PQR परस्पर सदृश हैं ।
- ∆ PRS तथा ∆ PQR परस्पर सदृश हैं ।
- ∆ PQS तथा ∆ PRR परस्पर सदृश हैं ।
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Proof:-
∆ PQS तथा ∆ PQR में,
(i) <QPR = <PSQ =90
(ii) <PQR = <PQS (उभयनिष्ठ)
∴ शेष <PRQ = शेष <QPS
∴ ∆ PQS तथा ∆ PQR समानकोणिक हैं ।
∴ ∆ PQS तथा ∆ PQR परस्पर सदृश हैं ।
फिर,
∆ PRS तथा ∆ PRQ में,
(i) <PSR = <QPR =90
(ii) <PRS = <PRQ (उभयनिष्ठ)
∴ शेष <RPS = शेष <PQR
∴ ∆ PRS तथा ∆ PQR समानकोणिक हैं ।
∴ ∆ PRS तथा ∆ PQR परस्पर सदृश हैं ।
अब,
∆ PQS तथा ∆ PQR परस्पर सदृश हैं और∆ PRS तथा ∆ PQR परस्पर सदृश हैं ।
∴ ∆ PQS तथा ∆ PRS परस्पर सदृश (समरूप) हैं ।
(Proved)
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