Class 10 Theorems
Class 10 Theorems WBBSE Madhyamik Pariksha

इस भाग में, कक्षा 10 के लिए W.B.B.S.E.(West Bengal Board Of Secondary Education) द्वारा आप सभी प्रमेय / CLASS 10 THEOREMS  को जानने जा रहे हैं। 

आप निश्चिन्त रहें कि सभी प्रमेय बेहतर तरीके से लिखे गए हैं ताकि आपको माध्यमिक परीक्षा(Madhyamik Pariksha) में पूर्ण अंक मिले। साथ यहाँ Writing Skill भी सिखाया गया है।

IN THIS PART YOU ARE GOING TO LEARN ALL THEOREMS( CLASS 10 THEOREMS) GIVEN BY WEST BENGAL BOARD OF SECONDARY EDUCATION FOR CLASS 10. BE ASSURE THAT YOU WILL KNOW THE CLASS 10  THEOREMS IN FANTASTIC MANNER WITH GREAT QUALITY OF WRITING SKILL HERE.

1) प्रमेय-01 (Theorem-01)

प्रमाणित कीजिए कि वृत्त के केन्द्र से वृत्त की जीवा (व्यास छोड़कर) के मध्य बिन्दु को मिलाने वाली रेखा जीवा के ऊपर लंब होती है ।

 

Given:- R केन्द्रवाला एक वृत्त है जिसमें PQ एक जीवा(जो व्यास नहीं है ) है एवं S उसका मध्यविन्दू है
अर्थात PS = QS

Theorem 1 Class 10 SK TEAM

To Prove :- RS ⊥ PQ

Construction:- P, R और Q, R को मिलाया गया।

Proof:- ∆PSR तथा ∆QSR में,
(i) PS = QS
(ii)PR = QR ( एक ही वृत्त का अर्द्धव्यास है ।)
(iii) RS उभयनिष्ठ (Common)है

∴   ∆PSR = ∆QSR
∴  < RSP = < RSQ
अब, RS , PQ पर खड़ी रेखाखंड है

< RSP + < RSQ= 180
=> < RSP + < RSP =180 ( < RSP = < RSQ)
=> 2 < RSP =180
=> < RSP =180 / 2 = 90
      RS ⊥ PQ (Proved)

प्रमेय-02 (Theorem-02)

प्रमाणित कीजिए वृत्त के केन्द्र से जीवा (व्यास छोड़कर) पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है ।

Given:- R केन्द्रवाला एक वृत्त है जिसमें PQ एक जीवा(जो व्यास नहीं है ) है एवं RS | PQ है
अर्थात < RSP = < RSQ = 90°
To Prove :- PS = QS

Theorem 2 Class 10 SK TEAM

To Prove :- PS = QS
Construction:- P, R और Q, R को मिलाया गया।

Proof:-
चूँकि RS | PQ
∆ RSP = ∆ RSQ दो समकोण त्रिभुज है
अब,
∆ RSP तथा ∆ RSQ में,
(i) < RSP = < RSQ = 90°
(ii) PR = QR ( एक ही वृत्त का अर्द्धव्यास है ।)
(iii) RS उभयनिष्ठ (Common) है
∆ PSR = ∆ QSR
PS = QS (Proved)

If you want to work on MODEL ACTIVITY TASK given by West Bengal Board Of Secondary Education, then Click Here.

प्रमाणित कीजिए कि एक ही चापखंड पर स्थित केन्द्र का कोण वृत्त की परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है ।

 

Given:- S केन्द्रवाला वृत्त के PUR चाप द्वारा केन्द्र पर बना कोण < PSR तथा परिधि पर बना कोण < PQR है

TO PROVE:-
< PSR = 2 < PQR

Construction:- Q,S को मिलाकर T बिन्दु तक बढ़ाया गया

Theorem 3 Class 10 SK TEAM

Proof:-
∵  PS = QS तथा RS = QS
∆ PSQ तथा ∆ RSQ समद्विबाहु त्रिभुज हैं
∴  < SPQ = < SQP
∴  < SRQ = < SQR

 

अब,
हम जानते हैं कि
बहिष्णकोण = विपरीत अंतःकोणो का योगफल
त्रिभुज ∆PSQ में,
बहिष्णकोण < PST = < SPQ + < SQP
                                = < SPQ + < SPQ
                                = 2 < SPQ                 …. (i)

Theorem 3 Class 10 SK TEAM

 

फिर,
त्रिभुज ∆RSQ में,
बहिष्णकोण < RST = < SRQ + < SQR
                                = < SQR + < SQR
                                = 2 < SQR                …. (ii)

Theorem 3 Class 10 SK TEAM

अब,
(i) और (ii) से,
बहिष्णकोण < PST + बहिष्णकोण < RST = 2 < SPQ + 2 < SQR

=>  < PSR = 2 < SPQ +  2 < SQR )

=>  < PSR = 2 (< SPQ +  < SQR )

 =>  < PSR =  2 < PQR  (Proved)

YOU CAN LIKE THESE POSTS :-

  1. HINDI QUESTION PAPER | MADHYAMIK QUESTION PAPER 
  2.  ENGLISH QUESTION PAPER | MADHYAMIK QUESTION PAPER 
  3. HISTORY QUESTION PAPER | MADHYAMIK QUESTION PAPER 
  4. MATHEMATICS QUESTION PAPER | MADHYAMIK PAPERS 

4) प्रमेय-04 (Theorem-04)

सिद्ध कीजिए कि एक ही अवधा पर स्थित कोण परस्पर बराबर होते हैं ।

Given:-

S  केंद्र वाला वृत्त है जिसमें <PUR और <PTR एक ही अवधा PQRTU पर स्थित है।

To Prove:-

अवधा PQRTU पर स्थित कोण परस्पर बराबर हैं ।

i.e.  <PUR = <PTR

Construction:-

S, P और S, R  को मिलाया गया।

Theorem 4 Class 10 SK TEAM

Proof:-

 चाप P͡QR पर केंद्र पर बना कोण <PSR और परिधि पर बना कोण <PUR है।

<PSR =2 <PUR ……(i)

फिर,

चाप P͡QR पर केंद्र पर बना कोण <PSR और परिधि पर बना कोण <PTR है।

<PSR =2 <PTR ……(i)

अब,

 (i) तथा (ii) से हम लिख सकते हैं,

2 <PUR =2 <PTR

=> < PUR =  < PTR

                         (Proved)

YOU CAN LIKE THESE POSTS :-

1. CLASS 10 THEOREMS 

2. Use of Remove too / No sooner 

3. MCQ ADAPTATION PACKAGE NATIONAL ACHIEVEMENT SURVEY 2021

4. MODEL ACTIVITY TASK FOR HINDI MEDIUM STUDENTS WB BOARD

सिद्ध कीजिए कि अर्द्धवृत पर बना कोण समकोण होता है ।

 

Given:-

S केंद्रीय वाला वृत्त है जिसमें < PRQ अर्द्धवृत्त पर बना कोण है।

To Prove:-

< PRQ = 90 (1 समकोण)

Theorem 5 Class 10 SK TEAM

Proof:-

PSQ एक सरल कोण है।

<PSQ = 180 …(i)

चाप P͡TQ पर केंद्र का <PSQ और परिधि का कोण <PRQ है।

<PSQ =2 <PRQ…(ii)

अब,

 (i) तथा (ii) से हम लिख सकते हैं,

2 <PRQ = 180

=>  <PRQ =180/2 =90

                                  (Proved)

सिद्ध कीजिए कि वृतस्थ चतुर्भुज के विपरीत कोण सम्पूरक होते हैं ।

Given:-

T केन्द्र वाला वृत्त PQRS चक्रीय चतुर्भुज है ।

Construction:- P, T और R, T को मिलाया गया ।

To Prove:-

(i) <PSR + <PQR = 180

(ii) <SPQ + <SRQ = 180

Proof:-

चाप P͡QR पर केंद्र का कोण < PTR तथा परिधि का कोण < PSR है।

< PTR =2 < PSR

=> 2 < PSR = < PTR

=> < PSR = 1/2 < PTR ….(i)

फिर,

चाप P͡SR पर केंद्र का कोण पुनर्युक्त कोण < PTR तथा परिधि का कोण < PQR है।

 पुनर्युक्त कोण < PTR =2 < PQR

=> 2 < PQR = पुनर्युक्त कोण < PTR

=> < PQR = 1/2 पुनर्युक्त कोण < PTR  ….(ii)

अब,

 (i) तथा (ii) से हम लिख सकते हैं,

< PSR + < PQR = 1/2 < PTR + 1/2 पुनर्युक्त कोण < PTR

=> < PSR + < PQR = 1/2 (< PTR + पुनर्युक्त कोण < PTR )

=> < PSR + < PQR = 1/2 × 180 = 90

इसी प्रकार, Q, T और S, T को मिला कर सिद्ध किया जा सकता है कि

                                      (Proved)

प्रमाणित कीजिए कि वृत्त के किसी बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा तथा स्पर्श बिन्दुगामी अर्द्धव्यास एक दूसरे पर लम्ब है।

अथवा, प्रमाणित कीजिए कि किसी वृत्त की स्पर्शक, स्पर्श बिन्दुगामी अर्द्धव्यास पर लम्ब होती है ।

Given:-

S केन्द्र वाला वृत्त के R बिन्दु पर स्पर्शक है एवं SR , R बिन्दुगामी अर्द्धव्यास है ।

To Prove:-

SR तथा PQ परस्पर लम्ब है ।

i.e. SR PQ

Theorem 7 Class 10 SK TEAM

Construction:- वृत्त के बाहर स्पर्शक PQ पर T एक बिन्दु लिया गया । S, T को मिलाया गया ।

Proof:-

वृत्त के बाहर स्पर्शक PQ पर T एक बिन्दु है ।

अतः S, T को मिलाने पर यह वृत्त को किसी बिन्दु पर काटेगी।

माना कि यह बिन्दु U है ।

SU = SR (एक ही वृत्त का अर्द्धव्यास)

अब,

      SU < ST

∴  SR < ST

∴  S से PQ पर खींची जाने वाली समस्त रेखाओं में SR सबसे छोटी है।

∴   SR PQ (Proved)

प्रमाणित कीजिए कि किसी वृत्त के बाहर स्थित किसी बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाये समान होती हैं एवं केंद्र पर समान कोण बनाती हैं ।

Given:-

 S केंद्र वाला वृत्त के बाहर स्थित बिन्दु P से वृत्त पर PR और PQ दो स्पर्शक हैं जो वृत्त को क्रमशः R तथा Q बिंदु पर स्पर्श करते हैं।

S के साथ R, Q तथा P को मिलाने पर केन्द्र S पर दो कोण <PSR तथा <PSQ बनता है ।

Theorem 8 Class 10 SK TEAM

To Prove:-

             (i) PR = PQ

             (ii) < PSR = <PSQ

Proof:-

PR और PQ वृत्त के स्पर्शक हैं और SR और SQ स्पर्श बिन्दुओं से खींचे गए अर्द्धव्यास (व्यासार्द्ध) है।

SR | PR तथा SQ | PB

PSR तथा PSQ दो समकोण त्रिभुज हैं ।

i.e. < PSR = < PSQ =90

अब,

त्रिभुज PSR तथा त्रिभुज PSQ में,

(i) < PSR = < PSQ =90

(ii) SR = SQ

(iii) SP उभयनिष्ठ है ।

∆ PSR   =̃ ∆ PSQ [S.A.S. (भुजा-कोण-भुजा) के द्वारा]

∴ PR  = PQ

∴ < PSR = < PSQ

                                (Proved)

सिद्ध कीजिए कि यदि दो वृत्त एक दूसरे को परस्पर स्पर्श करे तो स्पर्श बिन्दु, दोनों वृत्तो के केन्द्रों को मिलाने वाली सरल रेखा पर स्थित होगा ।

अथवा, प्रमाणित कीजिए कि यदि दो वृत्त एक दूसरे को स्पर्श करते हैं तो दोनों वृत्तो के केन्द्र एवं स्पर्श बिन्दु समरेखीय होते हैं ।

Given(दिया गया है):

P तथा Q केंद्र वाले दो वृत्त एक दूसरे को T बिंदु पर स्पर्श करते हैं।

To Prove(प्रमाणित करना है):

P, T तथा Q एक रेखीय हैं।

या P, T तथा Q एक सरल रेखा पर स्थित हैं ।

Construction(रचना): P, T और Q, T को मिलाया गया ।

Proof(प्रमाण):

∵  दो वृत्त एक दूसरे को R बिंदु पर स्पर्श करते हैं,

∴ T बिंदु पर इनका एक उभयनिष्ठ पर स्पर्शक है।

माना SR एक उभयनिष्ठ पर स्पर्शक है जो दोनों वृत्तो को R बिंदु पर स्पर्श करता है।

 P केन्द्र वाले वृत्त का SR पर स्पर्शक है और स्पर्श बिंदु से खींचा गया अर्द्धव्यास PT है।

∴ PT पर SR लंब है।

Q केन्द्र वाले वृत्त का SR पर स्पर्शक है और स्पर्श बिंदु से खींचा गया अर्द्धव्यास QT है।

∴ QT पर SR लंब है।

∴ PT और QT  एक ही सरल रेखा पर स्थित हैं ।

∴  P, T और Q बिंदु एक रेखीय हैं।

                                       (Proved)

10) प्रमेय-10 (Theorem-10)

Given:-

∆ PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका < P समकोण है और समकोणिक बिन्दु से कर्ण QR पर PS लंब है ।

To Prove:-

  1. ∆ PQS तथा ∆ PQR परस्पर सदृश हैं ।
  2. ∆ PRS तथा ∆ PQR परस्पर सदृश हैं ।
  3. ∆ PQS तथा ∆ PRR परस्पर सदृश हैं ।

Proof:-

∆ PQS तथा  ∆ PQR में,

(i) <QPR = <PSQ =90

(ii) <PQR = <PQS (उभयनिष्ठ)

∴ शेष <PRQ = शेष <QPS

∴ ∆ PQS तथा ∆ PQR समानकोणिक हैं ।

∴ ∆ PQS तथा  ∆ PQR परस्पर सदृश हैं ।

Theorem 10.1 Class 10 SK TEAM

फिर,

∆ PRS तथा ∆ PRQ में,

(i) <PSR = <QPR =90

(ii) <PRS = <PRQ (उभयनिष्ठ)

∴ शेष <RPS = शेष <PQR

∴ ∆ PRS तथा  ∆ PQR समानकोणिक हैं ।

∴ ∆ PRS तथा  ∆ PQR परस्पर सदृश हैं ।

Theorem 10.1 Class 10 SK TEAM

अब,

         ∆ PQS तथा ∆ PQR परस्पर सदृश हैं और∆ PRS तथा  ∆ PQR परस्पर सदृश हैं ।

     ∴ ∆ PQS तथा ∆ PRS परस्पर सदृश (समरूप) हैं ।

                                                                                     (Proved)

Here the following POSTS you are going to read our all Study Materials on different topics based Madhyamik Pariksha 2021:-

  1. Hindi Madhyamik 2021
  2. Madhyamik Theorems 2021
  3. Chemical Bonding |Physical Science| WBBSE CLASS 10
  4. Current Elrctricity |PHYSICAL SCIENCE WBBSE CLASS 10
  5. PERIODIC TABLE | Madhyamik Physical Science|WBBSE CLASS 10
  6. Behaviour Of Gases | Madhyamik Physical Science|WBBSE CLASS 10    

Follow us at Facebook 

Follow us at QUORA

Follow us at Instagram

Pin us at Pinterest

Follow us at Twitter

error: Content is protected !!